Matemática A · 12.º ano · Ano letivo 2026/2027
| Domínios / Ponderação | Objetivos de aprendizagem | Instrumentos de avaliação |
|---|---|---|
| D1: Conhecimento de conceitos e procedimentos matemáticos45% | PROBABILIDADE - Distinguir entre fenómeno aleatório e não aleatório (determinístico). - Compreender que as realizações individuais de um fenómeno aleatório são incertas, mas existe um padrão genérico de comportamento, recorrendo-se à Teoria da Probabilidade para construir modelos matemáticos que descrevam a regularidade estatística observada numa longa série de repetições do fenómeno. - Compreender que: à realização de um fenómeno aleatório se dá o nome de experiência aleatória; ao conjunto S de resultados possíveis se dá o nome de espaço de resultados ou espaço amostral; um acontecimento é um subconjunto do espaço de resultados e que a estes resultados se dá o nome de “resultados favoráveis” à realização do acontecimento; a descrição do fenómeno aleatório é feita através de um modelo de probabilidade, constituído pelos resultados possíveis e a probabilidade atribuída a cada resultado. - Relembrar os conceitos: acontecimento certo, impossível, elementar e composto; acontecimentos disjuntos ou mutuamente exclusivos; acontecimentos contrários ou complementares; união e interseção de acontecimentos. - Compreender que a caraterística do fenómeno aleatório permite definir, intuitivamente, a probabilidade de um acontecimento 𝐴, representada por 𝑃(𝐴), como sendo o valor para o qual estabiliza a frequência relativa da realização de 𝐴, num grande número de repetições da experiência aleatória, nas mesmas condições, ou seja, 𝑃(𝐴) é o valor em que estabiliza 𝑛𝐴/𝑛 , onde 𝑛𝐴 representa o número de vezes que se realizou 𝐴 em 𝑛 repetições da experiência aleatória. - Reconhecer que as probabilidades associadas aos acontecimentos elementares têm de ser números entre 0 e 1 e que a soma total deve ser 1. - Reconhecer que a probabilidade de um acontecimento é igual à soma das probabilidades dos acontecimentos elementares constituídos pelos resultados que o compõem. - Utilizar a representação dos acontecimentos em diagramas de Venn, para mostrar que, dados dois acontecimentos 𝐴 e 𝐵 quaisquer, 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) +𝑃(𝐵) −𝑃(𝐴 ∩ 𝐵). - Reconhecer que se admite que os acontecimentos elementares são equiprováveis quando não haja à partida razão para admitir que os resultados do espaço de resultados não tenham igual possibilidade de se verificarem. - Compreender que quando se puder admitir que os acontecimentos elementares são equiprováveis, se pode utilizar a regra de Laplace para determinar a probabilidade de um acontecimento A, com o seguinte enunciado: 𝑃(𝐴) = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑎 𝐴 / 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖s. - Saber que a probabilidade de um acontecimento 𝐴 se realizar, condicionada ou sabendo que o acontecimento 𝐵 se realizou, com 𝑃(𝐵) > 0, se representa por 𝑃(𝐴|𝐵) e se calcula de acordo com a seguinte fórmula: 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴∩𝐵) / 𝑃(𝐵). - Reconhecer que a partir da definição de probabilidade condicionada se pode definir a probabilidade simultânea de dois acontecimentos, chamada regra do produto, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) . 𝑃(𝐵|𝐴) ou 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) . 𝑃(𝐴|𝐵), conforme seja 𝐴 ou 𝐵 o acontecimento que está a condicionar. - Identificar que os acontecimentos 𝐴 e 𝐵, com 𝑃(𝐴) > 0 e 𝑃(𝐵) > 0, são independentes quando a ocorrência de um deles não altera a probabilidade da ocorrência do outro, ou seja, 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) (𝐴 independente de 𝐵) ou 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵) (𝐵 independente de 𝐴). - Reconhecer que outra definição de independência consiste em dizer que os acontecimentos 𝐴 e 𝐵 são independentes se e só se 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵). As duas definições de independência são equivalentes desde que se exija que 𝑃(𝐴) > 0 e 𝑃(𝐵) > 0. - Reconhecer que se podem associar números aos resultados de um fenómeno aleatório, através de uma função denominada variável aleatória (v.a.) e que construir um modelo de probabilidade para modelar um fenómeno aleatório, com espaço de resultados finito, é equivalente a construir a função massa de probabilidade (f.m.p.) da variável aleatória associada. - Identificar a população com a variável aleatória associada e reconhecer que construir a f.m.p. é obter um modelo para a população. - Reconhecer que a f.m.p. permite calcular a probabilidade de acontecimentos, relacionados com a realização do fenómeno modelado. - Reconhecer que dois dos parâmetros, características numéricas da população, mais importantes são o valor médio (média populacional) e o desvio padrão populacional, e saber que estes parâmetros se representam pelas letras gregas 𝜇 (miu) e 𝜎 (sigma), respetivamente. - Compreender o paralelismo entre valor médio 𝜇 e a média 𝑥̅ e também, de modo idêntico, para o desvio padrão populacional 𝜎 e desvio padrão (amostral) 𝑠, e outras medidas calculadas para a população e para a amostra. - Calcular o valor médio e o desvio-padrão populacional de uma variável aleatória de suporte finito, a partir da f.m.p.. - Reconhecer o modelo ou distribuição Normal, de suporte contínuo, como um dos modelos de probabilidade mais importantes para a modelação de fenómenos aleatórios. - Identificar que as curvas que representam esta família de modelos são simétricas, com o aspeto de um sino, e que cada distribuição Normal fica definida através dos parâmetros valor médio 𝜇 e desvio padrão 𝜎. - Saber que o valor médio determina o eixo de simetria da distribuição e que a distância entre o valor médio e as abcissas dos pontos de mudança de curvatura é igual ao desvio padrão. FUNÇÕES - Identificar função exponencial, como função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎^𝑥 , 𝑎 ∈ IR+ que verifica as propriedades: 𝑎^0 = 1, 1^𝑥 = 1, 𝑎^𝑥.𝑎^𝑦 = 𝑎^(𝑥+𝑦) , 𝑎^𝑥.𝑏^𝑥 = (𝑎.𝑏)^𝑥 , 𝑎^(−𝑥) = (1/𝑎)^𝑥 , 𝑎^𝑥/𝑎^𝑦 = 𝑎^(𝑥−𝑦) , 𝑎^𝑥.𝑏^𝑥 =(𝑎.𝑏)^𝑥 , (𝑎^𝑥)^𝑦 = 𝑎^(𝑥.𝑦) , 𝑎, 𝑏 ∈ IR +, 𝑥, 𝑦 ∈ IR. - Identificar, em funções do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑏. 𝑎^(𝑥−𝑐) +𝑑, 𝑎 ∈ IR+, 𝑐, 𝑑 ∈ IR e 𝑏 ∈ IR\{0}, domínio, contradomínio, coordenadas dos pontos de interseção com os eixos coordenados, monotonia e comportamento quando 𝑥 tende para mais infinito e menos infinito. - Conhecer as raízes de índice natural, nomeadamente, a radiciação de índice natural como inversa da potenciação de expoente natural. - Identificar funções invertíveis e não invertíveis, nomeadamente recorrendo aos gráficos das funções e ao “teste da reta horizontal” e à sua formulação algébrica, em casos simples. - Estabelecer as relações entre o domínio e o contradomínio de funções inversas, bem como a simetria das respetivas representações gráficas, relativamente à bissetriz dos quadrantes ímpares. - Identificar a função logarítmica como a inversa da função exponencial com a mesma base. - Estudar intuitivamente, com recurso à tecnologia, o comportamento de funções com logaritmos. - Conhecer e aplicar as propriedades e regras operatórias dos logaritmos, em casos simples (…). - Conhecer e aplicar a função composta, em casos simples, analisando o seu domínio. - Identificar o número 𝑒 (número de Euler) como a única base da função exponencial em que o seu gráfico coincide com o gráfico da respetiva função derivada. - Conhecer a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑒^𝑥 . - Identificar 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥) como a função inversa de 𝑓(𝑥) = 𝑒^𝑥. - Saber relacionar geometricamente a derivada da função logarítmica com a derivada da função exponencial, tendo por base a simetria das retas tangentes aos gráficos em pontos simétricos, relativamente à bissetriz dos quadrantes ímpares. - Conhecer a derivada da função 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥). - Conhecer o teorema da derivada da função composta (Regra da Cadeia). - Conhecer as regras de derivação para funções do tipo: 𝑓(𝑥) = 𝑥^𝛼 (com 𝛼 real e 𝑥 > 0), 𝑓(𝑥) = 𝑎^𝑥 (com 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1), 𝑓(𝑥) = log𝑎(𝑥) (com 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 e 𝑥 > 0), 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) e 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥). - Determinar derivadas envolvendo operações com as funções estudadas anteriormente, em casos simples. - Determinar a segunda derivada de funções polinomiais, racionais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas. - Relacionar o sinal e os zeros da segunda derivada com o sentido das concavidades e pontos de inflexão do gráfico de uma função. - Reconhecer uma função contínua num ponto do seu domínio como uma função que admite limite nesse ponto igual à sua imagem. - Identificar se uma função é contínua num intervalo aberto, em casos simples, tendo como apoio o conhecimento de uma lista de funções contínuas e respetivas operações. - Estudar o limite de funções que conduzem a indeterminações do tipo 0/0 e ∞/∞ , aplicando a Regra de L’Hôpital, usando limites notáveis ou técnicas de cálculo simples. - Determinar analiticamente as equações das assíntotas, verticais e não verticais, ao gráfico de uma função. - Conhecer o teorema dos valores intermédios (Bolzano-Cauchy). - Conhecer (…) o método da Bisseção. - Conhecer (…) o método de Newton-Raphson. NÚMEROS COMPLEXOS - Contextualizar historicamente a origem dos números complexos. - Identificar a unidade imaginária e o conjunto ℂ dos números complexos. - Representar números complexos na forma algébrica, identificando parte real, parte imaginária, módulo e conjugado, bem como números imaginários puros em ℂ. - Estabelecer a igualdade de números complexos na forma algébrica. - Efetuar operações elementares com números complexos na forma algébrica (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação). - Representar números complexos no plano de Argand-Gauss e identificar números complexos a partir das suas imagens geométricas. - Representar números complexos na forma trigonométrica. - Estabelecer a igualdade de dois números complexos na forma trigonométrica, bem como comparar números complexos cujas imagens geométricas estão em posições simétricas em relação ao eixo real, ao eixo imaginário ou à origem. - Efetuar operações com números complexos na forma trigonométrica (multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). PRIMITIVAS E INTEGRAIS - Conhecer o processo de primitivação (antiderivação) como processo inverso da derivação. - Construir uma tabela de primitivas simples, envolvendo funções polinomiais, 1/𝑥, 𝑒^𝑥, 𝑠𝑒𝑛(𝑥) e 𝑐𝑜𝑠(𝑥). - Reconhecer o integral definido de uma função positiva como a área de uma região compreendida entre o gráfico da função num intervalo e o eixo das abcissas. - Conhecer (...) o Teorema Fundamental do Cálculo Integral e a Fórmula de Barrow (...). |
- Apresentações orais - Observação direta - Questões de aula - Testes escritos - Trabalho de grupo |
| D2: Raciocínio matemático e resolução de problemas40% | PROBABILIDADE - Reconhecer a utilidade de árvores de probabilidade para organizar a informação disponível sobre os acontecimentos em cadeia. - Reconhecer a utilidade das tabelas de contingência para calcular a probabilidade condicionada. - Calcular probabilidades com base [no modelo normal]. FUNÇÕES - Resolver, graficamente, equações envolvendo funções exponenciais em contexto de resolução de problemas. - (...) aplicar as propriedades e regras operatórias dos logaritmos (…) em contexto de resolução de problemas e de modelação. - Resolver equações, envolvendo funções exponenciais e funções logarítmicas, em contexto de resolução de problemas, tanto analiticamente como graficamente. - Resolver problemas de otimização tendo por base funções deriváveis. - Resolver problemas, envolvendo o estudo de funções, complementando o uso da tecnologia com o estudo analítico. - (…) aplicar o método da Bisseção. - (…) aplicar o método de Newton-Raphson. NÚMEROS COMPLEXOS - Resolver equações do 2.º grau, de coeficientes reais, quando não existem raízes reais. - Resolver equações simples em ℂ. - Caracterizar domínios planos através de condições na variável complexa e vice-versa. PRIMITIVAS E INTEGRAIS - (…) aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo Integral e a Fórmula de Barrow para calcular integrais definidos. - Calcular áreas de figuras definidas por funções contínuas e positivas usando a Fórmula de Barrow. - Provar e aplicar as seguintes propriedades das primitivas (antiderivadas): 𝑃(𝑘 𝑓) = 𝑘 𝑃(𝑓) e 𝑃(𝑓 + 𝑔) = 𝑃(𝑓) + 𝑃(𝑔), generalizadas aos integrais. |
- Apresentações orais - Composições matemáticas - Observação direta - Questionários orais - Questões de aula - Tarefas de pesquisa/investigação - Testes escritos - Trabalho de grupo |
| D3: Comunicação matemática10% | - Comunicar, utilizando linguagem matemática, oralmente e por escrito, para descrever, explicar e justificar procedimentos, raciocínios e conclusões. - Aplicar e aprofundar conceitos e processos associados [aos diversos temas, em] problema[s] contextualizado[s], desenvolvendo competências de (…) representação e comunicação matemática. - Desenvolver a criatividade e a comunicação, através da apresentação do projeto em palestras, pósteres, vídeos ou outros suportes. |
- Apresentações orais - Composições matemáticas - Observação direta - Questionários orais - Questões de aula - Tarefas de pesquisa/investigação - Testes escritos - Trabalho de grupo |
| D4: Empenho, persistência e cooperação5% | - Participar nas atividades propostas, individualmente e em grupo, de forma empenhada. - Revelar persistência na aprendizagem, procurando consolidar e aprofundar conhecimentos e capacidades. - Revelar respeito pelos colegas e pela diversidade de opiniões, procurando consensos. |
- Apresentações orais - Autoavaliação - Observação direta - Trabalho de grupo |
